Observações Científicas: Dedução da fórmula do período de um pêndulo simples

Para deduzir a fórmula do período de um pêndulo simples precisamos estudar dois mecanismos pertencentes ao MHS (Movimento Harmônico Simples). São eles:

O pêndulo simples (a palavra "simples", na Física, significa "sem atrito");

E o sistema massa mola.

No sistema massa mola, a aceleração é máxima nas extremidades enquanto a velocidade é nula. Já no ponto de equilíbrio (simbolizado pela letra O) a aceleração é nula e a velocidade é máxima.

No pêndulo simples, a aceleração é máxima quando o corpo está com altura máxima (onde a velocidade é nula) e a aceleração é nula no ponto mais baixo da trajetória (que é o ponto de equilíbrio do pêndulo simples) onde a velocidade é máxima.

Agora que já conhecemos estes dois mecanismos, para prosseguirmos a dedução do período no pêndulo simples, precisamos fazer a projeção do MCU (Movimento Circular Uniforme) no sistema massa mola:

Na projeção, temos a sombra do objeto P, que realiza o movimento circular, projetada sobre o eixo do sistema massa mola. Observamos, através deste experimento, que o MCU completa um ciclo exatamente quando o sistema massa mola completa um ciclo também. Por isso, podemos dizer que os períodos de ambos são iguais.

Para determinamos a posição X em função do ângulo Φ (ângulo formado entre o raio do círculo e o eixo X) usamos a trigonometria, obtendo como resultado:

Portanto, a posição X na trajetória é igual ao raio vezes o cosseno de FI.

Do mesmo modo, podemos fazer a associação entre a aceleração centrípeta (aceleração do MCU) e a aceleração linear (aceleração do sistema massa mola):

A reta onde acontece a aceleração variável do MHS (sim! a aceleração do Movimento Harmônico Simples é variável) é o eixo x e a reta onde acontece a aceleração centrípeta é o próprio raio do círculo. Desta relação, temos que:

O sinal da aceleração centrípeta é negativo por uma questão de referencial. Foi definido matematicamente que a abertura de ângulos é sempre da direita para a esquerda, sendo que de zero graus a 180 graus temos a ida e de 180 graus à 360 graus a volta. Como no eixo x os valores positivos vão da esquerda para a direita (sentido inverso ao da abertura de ângulos) foi inserido um sinal negativo em uma das acelerações da fórmula para sincronizar a ida dos ângulos com a ida do móvel no MCU.

Sabemos que a aceleração centrípeta é igual à velocidade linear ao quadrado divido pelo raio:

e, fazendo uma associação entre a velocidade ângular e velocidade linear:

podemos dizer que:

substituindo em:

temos:

e, comparando com a primeira fórmula:

podemos afirmar que:

No sistema massa mola, a força resultante é a força elástica. E na Física a força elástica é definida como:

Onde "k" é a constante elástica, "x" é a deformação da mola (armazenamento da energia potencial na mola) e o sinal de menos existe na fórmula porque, quando a deformação da mola é para a esquerda, a força elástica é para direita e vice-versa.

Continuando, temos:

da fórmula:

podemos afirmar que:

Em MCU, aprendemos que:

Onde ômega é a velocidade angular e "T" (o período) é o tempo que o móvel leva para fazer um ciclo completo.

Por isso podemos dizer que é válida a dedução:

Ou seja, para o sistema massa mola, o período é igual a dois pi vezes a raiz quadrada da massa do objeto dividida pela constante elástica da mola.

Para o sistema de pêndulo simples, é necessário admitir que a força resultante do sistema de pêndulo (força resultante variável) tem a mesma natureza da força resultante do sistema massa mola. Depois precisamos fazer duas aproximações. A primeira delas, é considerar que, para pequenos ângulos, a força resultante que age na trajetória semicircular S é a mesma da trajetória X:

A segunda aproximação é considerar que (para ângulos de zero até no máximo dez graus) a tangente de Φ é igual ao seno de Φ.

Admitido isso, consideramos dois triângulos: um representando as forças e outro representando as distâncias:

Como seno de Φ é igual à tangente de Φ, igualamos as duas fórmulas:

O sinal de menos de x é uma questão de referencial presente em todas as forças restauradoras (quando o vetor força está num sentido, o deslocamento está no outro).

Desdobrando, temos: