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sábado, 7 de março de 2020

     “Através dos séculos existiram homens que deram o primeiro passo ao longo de novos caminhos, sem outros recursos além de sua própria visão”. (Ayn Rand)

domingo, 1 de março de 2020

Dedução do número "e"

     O número "e" foi descoberto empiricamente (ou seja, com base em dados obtidos através da experiência) por Jacques Bernoulli (1654-1705) quando este interessou-se por descobrir o valor máximo de lucro em empréstimos recorrendo à técnica de juros compostos.
     Como ele fez isso? Adicionando o máximo de juros possíveis à quantia inicial, maximizando o lucro.
     Veja esse exemplo:
     Com R$ 1,00 emprestado a uma taxa de 100% de lucro, se os juros forem calculados anualmente, o montante no final do ano será de R$ 2,00. No entanto, se os juros incidirem mês a mês, para não ser injusto, dividiremos a taxa de 100% por doze a medida que elevamos a incidência de juros sobre juros por doze também, resultando em uma taxa de 8,33% ao mês (100/12 = 8,33).
     Se o devedor não pagar a conta no primeiro mês, ele ficará devendo R$ 1,00 + R$ 0,083. R$ 0,083 é o valor correspondente a um doze avos da quantia inicial. Entretanto, no segundo mês, esse total (R$ 1,083) é incorporado à dívida de modo que, se ele não pagar também no segundo mês, ficará devendo R$ 1,083 +  R$ 0,9025 (1,083 × 8,33% = 0,9025). E, se ele continuar "dando calote", até o final do ano, terá uma dívida de R$ 2,60 (que é o valor inicial mais o total de juros sobre juros acumulados em doze meses).
     Se, forem calculados dia a dia, dividiremos a taxa de 100% por 365 e elevaremos a incidência de juros sobre juros por 365 também. A taxa, então, será de 0,27% ao dia e, caso não pague o empréstimos, o total acumulados em um ano será de R$ 2,7049.
     Se dividirmos a taxa anual por 31.536.000 vezes (que é o número de segundos contidos em um ano) e elevarmos a incidência de juros sobre juros por este mesmo número, o resultado permanece praticamente o mesmo: R$ 2,718282.
     Bernoulli identificou esse padrão matemático e descobriu que, se a taxa de juros fosse dividida por infinitas partes e a incidência de juros sobre juros aumentasse infinitamente, o resultado seria um número que, posteriormente Leonard Euler (1707-1783) "batizaria" de número "e", inspirado na primeira letra da palavra exponencial.

     Veja, em números, o que acabei de dizer:

     Bernoulli considerou uma unidade de taxa de juros, somou-a ao valor inicial e multiplicou o resultado pelo mesmo valor inicial:




resultando em R$ 2,00 de lucro:

     Depois ele fracionou a taxa em 12 e elevou a incidência de juros sobre juros à 12 também:


obtendo R$ 2,60 de lucro:

     Aí generalizando essa fórmula de juros compostos, definiu o limite desse empréstimo quando ele é fracionando e elevado ao infinito:


     E assim chegou no número "e":

     De forma que sempre teremos o número "e" quando a soma de um mais algo tendendo à zero for elevada ao infinito!
     Mas você poderia perguntar:
     - Quando inserimos o infinito no lugar de "n", esse limite não da um (visto que, quando "n" tende à zero, teremos uma base igual à um mais zero elevada ao infinito e um elevado à qualquer coisa sempre dá um)?
     E a resposta é: Não! Pois tender à zero nem sempre é o mesmo que zero. Neste caso, é algo muito próximo de zero, e esse "algo próximo de zero" é decisivo na produção do número "e"!

quinta-feira, 27 de fevereiro de 2020

Por que a derivada de lnx é 1/x?

     Para demonstrarmos que a derivada de lnx é "um sobre x", devemos aplicar a definição de derivada que diz que a derivada de qualquer função é razão incremental (x + Δx) em um dado intervalo (Δx) quando este intervalo tende à zero:


Onde Δx tende à zero e é o incremento da função lnx.

     Aplicando a regra da diferença, podemos transformar a subtração de logaritmos em uma divisão de logaritmandos:


     Podemos desmembrar a divisão de logaritmandos em duas partes:



e transferir o "um sobre delta x" para frente do logaritmo:


     A "regra do tombo" diz que, se o logaritmando estiver elevado a um expoente, este pode "cair" para a frente do logaritmo, sendo assim, podemos reverter essa regra e transformar o "um sobre delta x" em um expoente:
 

     Agora faremos uma de mudança de variável. Chamaremos "delta x sobre x" de "n":
e, consequentemente, "um sobre delta x" será igual a "um sobre n vezes um sobre x":


     Em relação à tendência, se o Δx → 0, teremos n =  Δx/x   n = 0/x    n →0.

     Aplicando essa mudança de variável, ficaremos com:

     Agora, desmembraremos o expoente:
     e aplicaremos a regra do tombo:


     Neste momento, ficamos um logaritmando interessante... Esse logaritmando, com "n" tendendo a zero, é exatamente o número "e" (se você quiser saber por que, leia o artigo que escrevi acima "Dedução do número e")!

      e portanto:

sábado, 8 de fevereiro de 2020

Dedução do Conceito de Integral Definida

     O que tem a ver a diferença de primitivas com a área localizada embaixo do gráfico de uma função?

     Para responder a essa pergunta precisamos fazer como que uma "engenharia reversa do Cálculo", ou seja, vamos demonstrar que a derivada da integral de uma função f(x) qualquer, num intervalo [a, x] é exatamente igual a essa mesma função f(x).

     Primeiramente representaremos a integral de f(x) no intervalo de [a, x] por "F" maiúsculo de "x":
"F" maiúsculo de "x" será chamado de primitiva de f(x)

     Depois aplicaremos a definição de derivada. Essa definição diz que a derivada de uma função é a razão incremental (x +  Δx) em um dado intervalo (Δx) quando este tende à zero:

Onde Δx tende à zero e é o incremento da função lnx.

     Sendo, então podemos substituir isso na definição de derivada e também dizer que "F(x + ∆x)" é a integral da função no intervalo de "a" até "∆x":


     Com base no gráfico abaixo, podemos observar que a integral de "a" até "Δx" menos a integral de "a" até "x" resulta na integral de "x" até "Δx":



 

     Substituindo temos:


     No século XVIII, Joseph Louis Lagrange, elaborou o Teorema do Valor Médio onde afirmava que em um dado intervalo da função, existe um ponto "c" cujo o "f de c", multiplicado pelo tamanho do intervalo, forma uma retângulo (o retângulo laranja da figura abaixo) que é exatamente igual a área embaixo do gráfico da função. O ponto "c" médio não é a metade do intervalo [x,  Δx]; o ponto "c" pode se movimentar convenientemente para esquerda ou para a direita até achar um f(c) que corresponda a altura de um retângulo equivalente à área embaixo do gráfico da função:


     Portanto, podemos substituirpor esse  triângulo de altura f(c) e base Δx:



     Cancelando Δx com Δx, ficamos com: 


     Em relação a esse limite, quando o Δx tende a zero, ele se reduz a "x", arrastando todos os pontos da função com ele:
     E portanto, quando Δx tende à zero "c" se reduz a "x" e também f(c) se reduz a f(x):


     Podemos confirmar isso aplicando o chamado "Teorema do Confronto" que diz que se os limites laterais do ponto "c" são iguais (nese caso, os limites laterais do ponto "c" tendem à x), então o valor de "c" é exatamente o resultado (idêntico) desses limites. Veja:


Pois "x" não depende de "Δx"
                                            
                                      

     Assim demonstramos que a derivada da primitiva de f(x) é igual a própria função f(x):


     Para finalizar, a partir de, vamos calcular a área embaixo do gráfico da função f(x) no intervalo [a,b]:

     Se inserirmos o "a" no lugar do "x", obteremos zero porque estaremos calculando uma área que vai de "a" até "a":


     Se inserirmos o "b" no lugar do "x", ficaremos com a seguinte expressão:
     Considerando G(x) e F(x) como sendo duas primitivas de f(x), temos que as derivadas dessa primitivas é igual a f(x):


     Sabemos, por definição, que duas primitivas diferem apenas por uma constante:, e podemos provar isso derivando essa expressão: 

     Levando em conta:


e


     Vamos calcular as expressões:



     Como , temos que:



     E substituindo na expressão , obtemos:




     Como "k" vale G(a), ficamos com:


     E fazendo os devidos ajustes:



     Assim, demonstramos algebricamente que, para calcular a área embaixo do gráfico de uma função, precisamos da diferença de uma Primitiva dessa função calculada no extremo direito do intervalo menos essa mesma Primitiva calculada no extremo esquerdo.

     Grande parte desse raciocínio que descrevi foi extraído dos seguintes vídeos: