O que é a derivada?

     Ao contrário do que muitos dizem, a derivada não é o coeficiente angular e nem a taxa de variação da função. A derivada é uma outra função que, ao inserir um valor em x, retorna um único valor em y, e esse valor retornado, este sim é o coeficiente angular no ponto específico (x, y).
     A partir desse valor (que também pode ser chamado de taxa de variação porque é a variação do eixo y a medida que varia o eixo x) é possível elaborar a reta tangente relativa a este ponto. Conforme andamos na função original, o coeficiente angular se altera e consequentemente a equação da reta tangente se altera também.

     Este coeficiente angular é o quociente da variação do eixo y pela variação do eixo x, tendo como referência que o sentido do deslocamento no eixo "x" é sempre da esquerda para a direita e o sentido do deslocamento no eixo "y" é sempre da coordenada y de inicial para a coordenada y final.

     Veja este exemplo:

     Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x² no ponto (-3; 9):

     Aplicando uma das regras de derivação, determinamos que a derivada de f(x) = x² é  f´(x) = 2x.

     O valor -3 inserido em f´(x) = 2x resulta em -6, ou seja, a inclinação da função f(x) = x² no ponto (-3; 9) é -6. Esse valor de inclinação serve apenas para este ponto. Se você alterar o valor inserido em "x", terá um valor diferente em "y" e uma inclinação diferente também, porque estará alterando o ponto em que a reta tangente toca o gráfico. A equação dessa reta tangente é dada pela seguinte expressão:

     Onde (-3) e (9) são as coordenadas [x,y] e (-6) é o valor do coeficiente angular (ou inclinação) da reta que tange a função neste ponto.

     Fazendo, nessa expressão, as devidas manipulações, podemos isolar o y: 

y - 9 = - 6.(x + 3) →  y = - 6x -18 + 9 → y = - 6x -9 

     Quando o "y" for zero, o "x" valerá -1,5, pois:

 0 = -6x -9 → -6x = 9 → x = 9/-6 →  x = -1,5

    O desenho dessa reta, considerando o triângulo retângulo que ela forma com as projeções dos eixos x e y, pode ser visualizado na figura abaixo: