Dedução do número "e"

     O número "e" foi descoberto empiricamente (ou seja, com base em dados obtidos através da experiência) por Jacques Bernoulli (1654-1705) quando este interessou-se por descobrir o valor máximo de lucro em empréstimos recorrendo à técnica de juros compostos.
     Como ele fez isso? Adicionando o máximo de juros possíveis à quantia inicial, maximizando o lucro.
     Veja esse exemplo:

     Com R$ 1,00 emprestado a uma taxa de 100% de lucro, se os juros forem calculados anualmente, o montante no final do ano será de R$ 2,00. No entanto, se os juros incidirem mês a mês, para não ser injusto, dividiremos a taxa de 100% por doze a medida que elevamos a incidência de juros sobre juros por doze também, resultando em uma taxa de 8,33% ao mês (100/12 = 8,33).
     Se o devedor não pagar a conta no primeiro mês, ele ficará devendo R$ 1,00 + R$ 0,083. R$ 0,083 é o valor correspondente a um doze avos da quantia inicial. Entretanto, no segundo mês, esse total (R$ 1,083) é incorporado à dívida de modo que, se ele não pagar também no segundo mês, ficará devendo R$ 1,083 +  R$ 0,9025 (1,083 × 8,33% = 0,9025). E, se ele continuar "dando calote", até o final do ano, terá uma dívida de R$ 2,60 (que é o valor inicial mais o total de juros sobre juros acumulados em doze meses).
     Se, forem calculados dia a dia, dividiremos a taxa de 100% por 365 e elevaremos a incidência de juros sobre juros por 365 também. A taxa, então, será de 0,27% ao dia e, caso não pague o empréstimos, o total acumulados em um ano será de R$ 2,7049.
     Se dividirmos a taxa anual por 31.536.000 vezes (que é o número de segundos contidos em um ano) e elevarmos a incidência de juros sobre juros por este mesmo número, o resultado permanece praticamente o mesmo: R$ 2,718282.

     Bernoulli identificou esse padrão matemático e descobriu que, se a taxa de juros fosse dividida por infinitas partes e a incidência de juros sobre juros aumentasse infinitamente, o resultado seria um número que, posteriormente Leonard Euler (1707-1783) "batizaria" de número "e", inspirado na primeira letra da palavra exponencial.

     Veja, em números, o que acabei de dizer:

     Bernoulli considerou uma unidade de taxa de juros, somou-a ao valor inicial e multiplicou o resultado pelo mesmo valor inicial:

resultando em R$ 2,00 de lucro:

     Depois ele fracionou a taxa em 12 e elevou a incidência de juros sobre juros à 12 também:

obtendo R$ 2,60 de lucro:

     Aí generalizando essa fórmula de juros compostos, definiu o limite desse empréstimo quando ele é fracionando e elevado ao infinito:

     E assim chegou no número "e":

     De forma que sempre teremos o número "e" quando a soma de um mais algo tendendo à zero for elevada ao infinito!
     Mas você poderia perguntar:
     - Quando inserimos o infinito no lugar de "n", esse limite não da um (visto que, quando "n" tende à zero, teremos uma base igual à um mais zero elevada ao infinito e um elevado à qualquer coisa sempre dá um)?
     E a resposta é: Não! Pois tender à zero nem sempre é o mesmo que zero. Neste caso, é algo muito próximo de zero, e esse "algo próximo de zero" é decisivo na produção do número "e"!