Por que a derivada de lnx é 1/x?

     Para demonstrarmos que a derivada de lnx é "um sobre x", devemos aplicar a definição de derivada que diz que a derivada de qualquer função é razão incremental (x + Δx) em um dado intervalo (Δx) quando este intervalo tende à zero:

Onde Δx tende à zero e é o incremento da função lnx.

     Aplicando a regra da diferença, podemos transformar a subtração de logaritmos em uma divisão de logaritmandos:

     Podemos desmembrar a divisão de logaritmandos em duas partes:

e transferir o "um sobre delta x" para frente do logaritmo:

     A "regra do tombo" diz que, se o logaritmando estiver elevado a um expoente, este pode "cair" para a frente do logaritmo, sendo assim, podemos reverter essa regra e transformar o "um sobre delta x" em um expoente:

 

     Agora faremos uma de mudança de variável. Chamaremos "delta x sobre x" de "n":

e, consequentemente, "um sobre delta x" será igual a "um sobre n vezes um sobre x":

     Em relação à tendência, se o Δx → 0, teremos→ n =  Δx/x →  n = 0/x  →  n →0.

     Aplicando essa mudança de variável, ficaremos com:

     Agora, desmembraremos o expoente:

     e aplicaremos a regra do tombo:

     Neste momento, ficamos um logaritmando interessante... Esse logaritmando, com "n" tendendo a zero, é exatamente o número "e" (se você quiser saber por que, leia o artigo que escrevi acima "Dedução do número e")!

      e portanto: